Giải tích Ví dụ

$\frac{2 d y}{3 d x} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài.

$\frac{2}{3} \frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$\frac{2}{3} d y = {(x - 2)}^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{2}{3} d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = x - 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.1.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int u^{2} d u$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $y$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $\frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})$

Bước 3.2.2.1.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Kết hợp $K$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})$

Bước 3.2.2.1.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.2.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + K \cdot 3)$

Bước 3.2.2.1.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $K$ .

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + 3 K)$

Bước 3.2.2.1.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} + \frac{1}{2} (3 K)$

Bước 3.2.2.1.5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{1}{2} (3 K)$

Bước 3.2.2.1.6

Nhân $\frac{1}{2} (3 K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.6.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} K$

Bước 3.2.2.1.6.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $K$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Bước 3.2.2.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{{(x - 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Bước 3.3.2.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Bước 3.3.2.3

Nhân $4$ với $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Bước 3.3.2.4

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3 K}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + K}{2}$