Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Bước 2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Bước 2.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Bước 2.3.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $- \frac{1}{2} u_{2}$ tại $e^{- t^{2}}$ và tại $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $e^{- t^{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

Bước 5.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e}$

Bước 6.1.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e}$

Bước 6.2

Vì số mũ $- t^{2}$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- t^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e}$

Bước 6.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tính giới hạn của $\frac{1}{2 e}$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e}$

Bước 6.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e}$

Bước 6.3.2.1.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2 e}$

Bước 6.3.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{2 e}$ .

$\frac{1}{2 e}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2 e}$

Dạng thập phân:

$0.18393972 \dots$