Giải tích Ví dụ

$e^{x} (x + x \sqrt{x})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (x + x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (x + x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (x + x^{1 + \frac{1}{2}})]$

Bước 2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Bước 2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (x + x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Bước 2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (x + x^{\frac{3}{2}})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}] + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$e^{x} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{x} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{x} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$e^{x} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 9

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + (x + x^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + (x + x^{\frac{3}{2}}) e^{x}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x + x^{\frac{3}{2}}) e^{x}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x e^{x} + x^{\frac{3}{2}} e^{x}$

Bước 11.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$e^{x} + e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x e^{x} + x^{\frac{3}{2}} e^{x}$

Bước 11.3.2

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{x} + \frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x e^{x} + x^{\frac{3}{2}} e^{x}$

Bước 11.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x + e^{x} x^{\frac{3}{2}} + e^{x} + \frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$