Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 6 \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $6 \sec^{2} (t)$ dương.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $36$ ra ngoài $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $36$ ra ngoài $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2.2

Đưa $36$ ra ngoài $36$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2.3

Đưa $36$ ra ngoài $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.4

Viết lại $36 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) (6 \sec (t))} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $6$ với $6$ .

$\int \frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.2.2

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)}$ .

$\int \frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)}$ và $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $36 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $6 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Bước 2.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Bước 2.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec (t)}{6 \tan (t)} d t$

Bước 3

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\tan (t)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Bước 4.2

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{6} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Bước 4.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Bước 4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Bước 4.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$\frac{1}{6} \int \csc (t) d t$

Bước 5

Tích phân của $\csc (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{x}{6})) - \cot (\arctan (\frac{x}{6})) |) + C$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{1}{6} x)) - \cot (\arctan (\frac{1}{6} x)) |) + C$