Giải tích Ví dụ

$lim_{r \to 4} (\frac{2}{r} + \frac{1}{2}) (r^{2} - \frac{4}{r})$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $r$ tiến dần đến $4$ .

$lim_{r \to 4} \frac{2}{r} + \frac{1}{2} \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $r$ tiến dần đến $4$ .

$(lim_{r \to 4} \frac{2}{r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Bước 3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $r$ .

$(2 lim_{r \to 4} \frac{1}{r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $r$ tiến dần đến $4$ .

$(2 \frac{lim_{r \to 4} 1}{lim_{r \to 4} r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Bước 5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $r$ tiến dần đến $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Bước 6

Tính giới hạn của $\frac{1}{2}$ mà không đổi khi $r$ tiến dần đến $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $r$ tiến dần đến $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot (lim_{r \to 4} r^{2} - lim_{r \to 4} \frac{4}{r})$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $r^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - lim_{r \to 4} \frac{4}{r})$

Bước 9

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $r$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 lim_{r \to 4} \frac{1}{r})$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $r$ tiến dần đến $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{lim_{r \to 4} 1}{lim_{r \to 4} r})$

Bước 11

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $r$ tiến dần đến $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $r$ bằng cách điền vào $4$ cho $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $r$ bằng cách điền vào $4$ cho $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Bước 12.3

Tính giới hạn của $r$ bằng cách điền vào $4$ cho $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$(2 \frac{1}{2 (2)} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Bước 13.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Bước 13.1.3

Viết lại biểu thức.

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Bước 13.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 1}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Bước 13.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Bước 13.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Bước 13.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Bước 13.5

Nhân $4^{2} - 4 (\frac{1}{4})$ với $1$ .

$4^{2} - 4 (\frac{1}{4})$

Bước 13.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$16 - 4 (\frac{1}{4})$

Bước 13.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$16 + 4 (- 1) \frac{1}{4}$

Bước 13.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4}$

Bước 13.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$16 - 1$

Bước 13.7

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$15$