Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}) = \frac{d}{d y} (1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{a^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{1}{a^{2}}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$\frac{1}{a^{2}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{a^{2}} (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$\frac{1}{a^{2}} (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{1}{a^{2}} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{a^{2}}$ .

$\frac{2}{a^{2}} (x x') + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{a^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{a^{2}} x' + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2.6

Kết hợp $\frac{x \cdot 2}{a^{2}}$ và $x'$ .

$\frac{x \cdot 2 x'}{a^{2}} + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.2.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- \frac{1}{b^{2}}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- \frac{y^{2}}{b^{2}}$ đối với $y$ là $- \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 y)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - 2 \frac{1}{b^{2}} y$

Bước 2.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{b^{2}}$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} + \frac{- 2}{b^{2}} y$

Bước 2.3.5

Kết hợp $\frac{- 2}{b^{2}}$ và $y$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} + \frac{- 2 y}{b^{2}}$

Bước 2.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - \frac{2 y}{b^{2}}$

Bước 3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - \frac{2 y}{b^{2}} = 0$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $\frac{2 y}{b^{2}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{2 x x'}{a^{2}} = \frac{2 y}{b^{2}}$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $a^{2}$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} a^{2} = \frac{2 y}{b^{2}} a^{2}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $a^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x x'}{a^{2}} a^{2} = \frac{2 y}{b^{2}} a^{2}$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 x x' = \frac{2 y}{b^{2}} a^{2}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Kết hợp $\frac{2 y}{b^{2}}$ và $a^{2}$ .

$2 x x' = \frac{2 y a^{2}}{b^{2}}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x x' = \frac{2 y a^{2}}{b^{2}}$ cho $2 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x x' = \frac{2 y a^{2}}{b^{2}}$ cho $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x x'}{x} = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x x'}{x} = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x' = \frac{2 y a^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Bước 5.4.3.2

Kết hợp.

$x' = \frac{2 y a^{2} \cdot 1}{b^{2} (2 x)}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x' = \frac{2 y a^{2} \cdot 1}{b^{2} (2 x)}$

Bước 5.4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$x' = \frac{y a^{2} \cdot 1}{b^{2} (x)}$

Bước 5.4.3.4

Nhân $y$ với $1$ .

$x' = \frac{a^{2} y}{b^{2} x}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{a^{2} y}{b^{2} x}$