Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 x} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- 2 x}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Bước 3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Bước 4

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

Bước 5.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Bước 6

Giả sử $u = - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Bước 6.3

Nhân $- 2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Bước 6.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Bước 6.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Bước 12

Kết hợp $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ và $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ tại $t$ và tại $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

Bước 13.2

Tính $e^{u}$ tại $- 2 t$ và tại $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $- 2$ với $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.3

Nhân $0$ với $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 0 - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.5

Cộng $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ và $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Bước 13.3.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{4}$

Bước 13.3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Bước 13.3.8

Để viết $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Bước 13.3.9

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.9.1

Nhân $\frac{t e^{- 2 t}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Bước 13.3.9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{4} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Bước 13.3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t e^{- 2 t} \cdot 2 - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Bước 13.3.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 t e^{- 2 t} - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 t e^{- 2 t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Bước 14.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Bước 14.3

Viết lại $- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ ở dạng $- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Bước 14.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

Bước 15

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

Bước 15.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1$

Bước 15.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.5

Viết lại $t e^{- 2 t}$ ở dạng $\frac{t}{e^{2 t}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.1.2

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.1.3

Vì số mũ $2 t$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{2 t}$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]}$

Bước 15.6.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \frac{d}{d t} [t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \cdot 1} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.6.3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 t}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.7

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{e^{2 t}}$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.9

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.10

Vì số mũ $- 2 t$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- 2 t}$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 15.11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.11.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 1)$

Bước 15.11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.11.2.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1 \cdot 1)$

Bước 15.11.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1)$

Bước 15.11.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

Bước 15.11.2.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Bước 15.11.2.4

Nhân $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.11.2.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Bước 15.11.2.4.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.25$