Giải tích Ví dụ

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Bước 2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Bước 3

Rút gọn $\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

Bước 3.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $\sqrt{y}$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Bước 3.4

Nhân $\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\sqrt{y}$ và $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Bước 3.4.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{y}}{3}$ và $y$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 \sqrt{y}$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Bước 3.5.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[1, 9]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{y}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$y \geq 0$

Bước 4.1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $y$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \geq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \geq 0}$

Bước 4.2

$f (y)$ liên tục trên $[1, 9]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Kiểm tra xem $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ có khả vi không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.2

Nhân $y^{\frac{1}{2}}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1

Nhân $y^{\frac{1}{2}}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.2.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.8.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.9

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.10

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.11

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.12

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 5.1.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5.1.1.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{\frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 5.1.1.3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5.1.1.3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 5.1.1.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 5.1.1.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 5.1.1.3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 5.1.1.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Bước 5.1.1.3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 5.1.1.3.10

Di chuyển $y^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (y)$ đối với $y$ là $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $[1, 9]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[1, 9]$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Bước 5.2.1.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Bước 5.2.1.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

Bước 5.2.1.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{y}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$y \geq 0$

Bước 5.2.1.3

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 \sqrt{y} = 0$

Bước 5.2.1.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

Bước 5.2.1.4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 5.2.1.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.2.2.1

Rút gọn ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 5.2.1.4.2.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 5.2.1.4.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 5.2.1.4.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 y^{1} = 0^{2}$

Bước 5.2.1.4.2.2.1.4

Rút gọn.

$4 y = 0^{2}$

Bước 5.2.1.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 y = 0$

Bước 5.2.1.4.3

Chia mỗi số hạng trong $4 y = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 5.2.1.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 5.2.1.4.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Bước 5.2.1.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.3.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$y = 0$

Bước 5.2.1.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $y$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y > 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y > 0}$

Bước 5.2.2

$f' (y)$ liên tục trên $[1, 9]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5.3

Hàm số khả vi trên $[1, 9]$ vì đạo hàm liên tục trên $[1, 9]$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

Để đảm bảo độ dài cung, cả hàm số và đạo hàm của nó phải liên tục trong khoảng đóng $[1, 9]$ .

Hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên khoảng đóng $[1, 9]$ .

Bước 7

Tìm đạo hàm của $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.2

Nhân $y^{\frac{1}{2}}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nhân $y^{\frac{1}{2}}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.2.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.8.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.9

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.10

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.11

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.12

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Bước 7.3

Tính $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{\frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 7.3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 7.3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 7.3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 7.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Bước 7.3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 7.3.10

Di chuyển $y^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8

Để tìm độ dài cung của một hàm số, hãy sử dụng công thức $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

Bước 9