Giải tích Ví dụ

${(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 3}$ và $g (x) = 3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})])$

Bước 2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cot (x^{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{2})] + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2}$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2}$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (x^{2}) (2 x)) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2}) x) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x \cdot x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{1} x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Bước 8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}}$ .

$\frac{- 3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Bước 9.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$ .

$- (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x)) \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}}$