Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 - x^{2}}$ ở dạng ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{1}}$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Bước 5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 11.3

Di chuyển ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Bước 12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 13

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 14

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Bước 15

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Bước 16

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Bước 16.2

Nhân $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Bước 17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{4 - x^{2}}$

Bước 18

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{4 - x^{2}}$

Bước 18.2

Kết hợp $\frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2} x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 19

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 20

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 21

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 22

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 23

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{3}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 24

Sắp xếp lại $4$ và $- x^{2}$ .

$\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 25

Để viết $2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 27

Nhân ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Di chuyển ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 27.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 27.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 27.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 27.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{1} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 28

Rút gọn $2 x {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Bước 29

Viết lại $\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ ở dạng một tích.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}}$

Bước 30

Nhân $\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{4 - x^{2}}$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})}$

Bước 31

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Bước 32

Nhân ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với $- x^{2} + 4$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1

Nhân ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với $- x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1.1

Nâng $- x^{2} + 4$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{1}}$

Bước 32.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Bước 32.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 32.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Bước 32.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.2.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.2.1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.2.1.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.2.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.2.1.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.2.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.2.1.4

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 8 x + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.2.2

Cộng $- 2 x^{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{3} + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$\frac{x (- x^{2}) + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $8 x$ .

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 8}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (- x^{2}) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{x (- (x^{2}) + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.5

Viết lại $8$ ở dạng $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2}) - 1 (- 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.7

Viết lại $- (x^{2} - 8)$ ở dạng $- 1 (x^{2} - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 33.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x (x^{2} - 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$