Giải tích Ví dụ

$\int 2 x \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \sec (x^{2})$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \sec (x^{2})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x^{2})]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)$

Bước 2.1.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \sec (x^{2}) \tan (x^{2})$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} u_{2} + C$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} u_{2} + C$

Bước 4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 u_{2} + C$

Bước 4.2.3

Nhân $u_{2}$ với $1$ .

$u_{2} + C$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (x^{2})$ .

$\sec (x^{2}) + C$