Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{a - b y}} d y$

Bước 1

Giả sử $u = a - b y$ . Sau đó $d u = - b d y$ , nên $- \frac{1}{b} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = a - b y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $a - b y$ .

$\frac{d}{d y} [a - b y]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a - b y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [a] + \frac{d}{d y} [- b y]$ .

$\frac{d}{d y} [a] + \frac{d}{d y} [- b y]$

Bước 1.1.2.2

Vì $a$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $a$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- b y]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- b y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- b$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- b y$ đối với $y$ là $- b \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - b \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - b \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - b$

Bước 1.1.4

Trừ $b$ khỏi $0$ .

$- b$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{- 1}{- b} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{- 1}{- b} d u$

Bước 2.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{b} d u$

Bước 2.3

Nhân $\frac{1}{b}$ với $\frac{1}{\sqrt{u}}$ .

$\int - \frac{1}{b \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{b \sqrt{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{b}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{b}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{b} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{b} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 5.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{b} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{b} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1}{b} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{b} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{b} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{b} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{b} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{b} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{b} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{b}$ .

$\frac{- 2}{b} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{b} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.4

Kết hợp $u^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{b}$ .

$- \frac{u^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{b} + C$

Bước 7.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 u^{\frac{1}{2}}}{b} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a - b y$ .

$- \frac{2 {(a - b y)}^{\frac{1}{2}}}{b} + C$