Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 5 \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $5 \sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $25$ ra ngoài $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $25$ ra ngoài $- 25$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $25$ ra ngoài $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $25 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5 \tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $5 \tan (t)$ ra ngoài $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int 5 \sec (t) \sec (t) d t$

Bước 3

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec (t)) d t$

Bước 4

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 5 {\sec (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (t) d t$

Bước 7

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 8

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$5 (\tan (t) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$5 \tan (t) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 \tan (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$