Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{- 2} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 6.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{- 3} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{- 3}^{- 1})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{- 3}^{- 1})$

Bước 8.1.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $- x^{- 1}$ tại $- 1$ và tại $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Bước 8.2.2

Tính $- \frac{1}{2 x^{2}}$ tại $- 1$ và tại $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- - 1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{- 3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 - 1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.9

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.10

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.11

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.3.12

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 9})$

Bước 8.2.3.13

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{18})$

Bước 8.2.3.14

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{18})$

Bước 8.2.3.15

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.15.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{2 \cdot 9} + \frac{1}{18})$

Bước 8.2.3.15.2

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{18} + \frac{1}{18})$

Bước 8.2.3.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} - \frac{- 9 + 1}{18}$

Bước 8.2.3.17

Cộng $- 9$ và $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{- 8}{18}$

Bước 8.2.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 (- 4)}{18}$

Bước 8.2.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Bước 8.2.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Bước 8.2.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} - \frac{- 4}{9}$

Bước 8.2.3.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} - - \frac{4}{9}$

Bước 8.2.3.20

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 1 (\frac{4}{9})$

Bước 8.2.3.21

Nhân $\frac{4}{9}$ với $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{4}{9}$

Bước 8.2.3.22

Để viết $\frac{2}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{9}$

Bước 8.2.3.23

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.23.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9}$

Bước 8.2.3.23.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{4}{9}$

Bước 8.2.3.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \cdot 3 + 4}{9}$

Bước 8.2.3.25

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.25.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6 + 4}{9}$

Bước 8.2.3.25.2

Cộng $6$ và $4$ .

$\frac{10}{9}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{10}{9}$

Dạng thập phân:

$1.\overline{1}$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{1}{9}$

Bước 10