Giải tích Ví dụ

$y = {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (2 x)}^{x})$

Bước 2

Khai triển $\ln ({\cos (2 x)}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = x \ln (\cos (2 x))$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $x \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))] + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.5.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.6.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \cdot 1$

Bước 3.2.6.6

Nhân $\ln (\cos (2 x))$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = - 2 x \sec (2 x) \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.1

Viết lại $\sec (2 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = - 2 x \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.2.2

Nhân $- 2 x \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.2.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{- 2}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot - 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.2.3

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{- 2 \cdot x}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y'}{y} = - \frac{2 \cdot x}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.2.5

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{2 x}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (2 x) (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{2 \sin (2 x) x}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.3.1

Tách các phân số.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.3.2

Quy đổi từ $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ sang $\tan (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - (\frac{2 x}{1} \tan (2 x)) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.3.3

Chia $2 x$ cho $1$ .

$\frac{y'}{y} = - (2 x \tan (2 x)) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 3.2.7.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = - 2 x \tan (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (- 2 x \tan (2 x) + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại $\tan (2 x)$ theo sin và cosin.

$y' = (- 2 x \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 2 x \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = (x \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.1.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = (\frac{x (- 2 \sin (2 x))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.1.3

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y' = (\frac{- 2 \cdot x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = (- \frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = - \frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} {\cos (2 x)}^{x} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.3

Kết hợp ${\cos (2 x)}^{x}$ và $\frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (2 x)}^{x} (2 x \sin (2 x))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${\cos (2 x)}^{x}$ và $\cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Đưa $\cos (2 x)$ ra ngoài ${\cos (2 x)}^{x} (2 x \sin (2 x))$ .

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.4.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x) \cdot 1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x) \cdot 1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.4.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = - \frac{{\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))}{1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.4.1.2.4

Chia ${\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))$ cho $1$ .

$y' = - ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' = - (2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x)) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y' = - 2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Bước 5.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$ .

$y' = - 2 x {\cos (2 x)}^{x - 1} \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{x} \ln (\cos (2 x))$