Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{- 4 \sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Bước 1

Chuyển số hạng $- 4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 4 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{\sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to - \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- lim_{x \to - \frac{π}{3}} 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Bước 5

Tính giới hạn của $8$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Bước 6

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \cos (x)}$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- \frac{π}{3}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- \frac{π}{3}$ cho $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- \frac{π}{3}$ cho $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 4 \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Bước 9.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- 4 \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Bước 9.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{5 π}{3})}$

Bước 9.2.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{π}{3})}$

Bước 9.2.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 (\frac{1}{2})}$

Bước 9.2.4

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + \frac{5}{2}}$

Bước 9.2.5

Để viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}$

Bước 9.2.6

Kết hợp $- 8$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}$

Bước 9.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2 + 5}{2}}$

Bước 9.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.8.1

Nhân $- 8$ với $2$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 16 + 5}{2}}$

Bước 9.2.8.2

Cộng $- 16$ và $5$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 11}{2}}$

Bước 9.2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{11}{2}}$

Bước 9.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{11}{2}}$

Bước 9.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Bước 9.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Bước 9.5.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 (\sqrt{3} \frac{1}{11})$

Bước 9.6

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\frac{1}{11}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{11}$

Bước 9.7

Kết hợp $- 4$ và $\frac{\sqrt{3}}{11}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{11}$

Bước 9.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Dạng thập phân:

$- 0.62983665 \dots$