Giải tích Ví dụ

$y = x^{\frac{2}{x}}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{2}{x}})$

Bước 2

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{2}{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = \frac{2}{x} \ln (x)$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Bước 3.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 \ln (x)}{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 3.2.5.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 3.2.5.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 3.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 3.2.6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 3.2.6.2.2

Nhân $2 (- \ln (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 3.2.6.2.2.2

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}} x^{\frac{2}{x}}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$ và $x^{\frac{2}{x}}$ .

$y' = \frac{(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x}}}{x^{2}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{\frac{2}{x}}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x}}$ .

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2}}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân với $1$ .

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}}{1}$

Bước 5.2.2.4

Chia $(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}$ cho $1$ .

$y' = (2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = 2 x^{\frac{2}{x} - 2} - \ln (x^{2}) x^{\frac{2}{x} - 2}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 x^{\frac{2}{x} - 2} - \ln (x^{2}) x^{\frac{2}{x} - 2}$ .

$y' = 2 x^{\frac{2}{x} - 2} - x^{\frac{2}{x} - 2} \ln (x^{2})$