Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{1 + \sqrt{x}}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 12

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 13

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 15.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 17

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 18

Nhân $\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 19

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{4 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$