Giải tích Ví dụ

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (1 t))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $t$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $t$ với $1$ .

$\frac{d}{d t} [t \ln^{2} (t)]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = \ln^{2} (t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = \ln (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\ln (t)$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (t)$ .

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4

Đạo hàm của $\ln (t)$ đối với $t$ là $\frac{1}{t}$ .

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Kết hợp $\frac{1}{t}$ và $2$ .

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.5.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Kết hợp $\frac{2}{t}$ và $\ln (t)$ .

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.5.2.2

Kết hợp $t$ và $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.5.2.3.2

Chia $2 \ln (t)$ cho $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

Bước 4.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.4.1

Nhân $\ln^{2} (t)$ với $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

Bước 4.5.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$