Giải tích Ví dụ

$\int \arcsin (\cos (x)) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Sau đó $d u_{2} = - d x$ , nên $- d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\arcsin (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\cos (x))]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\arcsin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

Bước 1.1.4

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ và $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

Bước 1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

Bước 1.1.5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 1.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 1.1.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1$

Bước 1.1.5.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 4

Viết lại $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\arcsin (\cos (x))$ .

$- \frac{1}{2} {\arcsin (\cos (x))}^{2} + C$