Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{3} (3 x^{2} + 5 x - 1) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 1}^{3} 3 x^{2} + 5 x - 1 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 5 x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 5 x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 5 x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 5 x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Bước 6

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 5 \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + - x]_{- 1}^{3}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $3$ và tại $- 1$ .

$3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + - x]_{- 1}^{3}$

Bước 10.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $3$ và tại $- 1$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - x]_{- 1}^{3}$

Bước 10.3

Tính $- x$ tại $3$ và tại $- 1$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.2.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$3 (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (9 - \frac{- 1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 (9 - - \frac{1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 (9 + 1 (\frac{1}{3})) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.6

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$3 (9 + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.7

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$3 (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.8

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.10.1

Nhân $9$ với $3$ .

$3 \frac{27 + 1}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.10.2

Cộng $27$ và $1$ .

$3 (\frac{28}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.11

Kết hợp $3$ và $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.12

Nhân $3$ với $28$ .

$\frac{84}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.13

Triệt tiêu thừa số chung của $84$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $84$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3 (1)} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 1} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{28}{1} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.13.2.4

Chia $28$ cho $1$ .

$28 + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.14

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$28 + 5 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.15

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$28 + 5 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$28 + 5 \frac{9 - 1}{2} + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.17

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$28 + 5 (\frac{8}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.18

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$28 + 5 \frac{2 \cdot 4}{2} + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$28 + 5 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$28 + 5 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$28 + 5 (\frac{4}{1}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.18.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$28 + 5 \cdot 4 + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.19

Nhân $5$ với $4$ .

$28 + 20 + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.20

Cộng $28$ và $20$ .

$48 + (- 1 \cdot 3) - 1$

Bước 10.4.21

Nhân $- 1$ với $3$ .

$48 - 3 - 1$

Bước 10.4.22

Trừ $1$ khỏi $- 3$ .

$48 - 4$

Bước 10.4.23

Trừ $4$ khỏi $48$ .

$44$

Bước 11