Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Bước 1

Distribute denominator.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ sang $\sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Bước 2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + 1 d θ$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) d θ + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Bước 4

Vì đạo hàm của $\tan (θ)$ là $\sec^{2} (θ)$ , tích phân của $\sec^{2} (θ)$ là $\tan (θ)$ .

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ và $θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\tan (θ) + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Bước 6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $\tan (θ) + θ$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$(\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - (\tan (0) + 0)$

Bước 6.2.2

Cộng $\tan (0)$ và $0$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$1 + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Bước 6.3.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$1 + \frac{π}{4} - 0$

Bước 6.3.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$1 + \frac{π}{4} + 0$

Bước 6.3.4

Cộng $1 + \frac{π}{4}$ và $0$ .

$1 + \frac{π}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$1 + \frac{π}{4}$

Dạng thập phân:

$1.78539816 \dots$