Giải tích Ví dụ

$\sqrt[4]{16 x} \cos (x)$

Bước 1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{16 x} \cos (x)]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[4]{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{2^{4} x} \cos (x)]$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[4]{x} \cos (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{4}} \cos (x)]$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{1}{4}} \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}} \cos (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}])$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}))$

Bước 6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Bước 7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}))$

Bước 9.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}))$

Bước 10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}))$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4})$

Bước 12

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{3}{4}}}{4})$

Bước 13

Di chuyển $x^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (x^{\frac{1}{4}} (- \sin (x))) + 2 \frac{\cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Bước 14.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{4}} (\sin (x))) + 2 \frac{\cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Bước 14.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{2 \cos (x)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Bước 14.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cos (x)$ .

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{2 (\cos (x))}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Bước 14.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{2 (\cos (x))}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

Bước 14.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{2 \cos (x)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

Bước 14.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 x^{\frac{1}{4}} \sin (x) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{3}{4}}}$