Giải tích Ví dụ

$y = x^{x^{2}}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{2}})$

Bước 2

Khai triển $\ln (x^{x^{2}})$ bằng cách di chuyển $x^{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = x^{2} \ln (x)$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \ln (x)$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.4.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) (2 x)$

Bước 3.2.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x) + x$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (2 x \ln (x) + x) x^{x^{2}}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$y' = (x \ln (x^{2}) + x) x^{x^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = x \ln (x^{2}) x^{x^{2}} + x \cdot x^{x^{2}}$

Bước 5.3

Nhân $x$ với $x^{x^{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển $x^{x^{2}}$ .

$y' = x^{x^{2}} x \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Bước 5.3.2

Nhân $x^{x^{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = x^{x^{2}} x^{1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Bước 5.4

Nhân $x$ với $x^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1} x^{x^{2}}$

Bước 5.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1 + x^{2}}$