Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 2$ và $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $y + 3$ với $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.5

Cộng $y'$ và $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.6.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 3.6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(y + 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

Bước 5.2.1.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

Bước 5.2.1.2.2

Di chuyển $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Vì $y'$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Bước 5.3.2

Viết lại $- 1 y'$ ở dạng $- y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Bước 5.3.3

Rút gọn $y' {(y + 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại ${(y + 3)}^{2}$ ở dạng $(y + 3) (y + 3)$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

Bước 5.3.3.2

Khai triển $(y + 3) (y + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

Bước 5.3.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

Bước 5.3.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Bước 5.3.3.3.1.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

Bước 5.3.3.3.1.3

Nhân $3$ với $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

Bước 5.3.3.3.2

Cộng $3 y$ và $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

Bước 5.3.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

Bước 5.3.3.5.2

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

Bước 5.3.4

Vì $y'$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

Bước 5.3.5

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Cộng $y' x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

Bước 5.3.5.2

Trừ $2 y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

Bước 5.3.5.3

Trừ $2 y'$ khỏi $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

Bước 5.3.6

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Bước 5.3.6.2

Đưa $y'$ ra ngoài $6 y' y$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Bước 5.3.6.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Bước 5.3.6.4

Đưa $y'$ ra ngoài $7 y'$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Bước 5.3.6.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ .

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Bước 5.3.6.6

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Bước 5.3.6.7

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

Bước 5.3.7

Chia mỗi số hạng trong $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ cho $y^{2} + 6 y + x + 7$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ cho $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Bước 5.3.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Bước 5.3.7.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Bước 5.3.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$