Giải tích Ví dụ

$\int {(\csc (x) + \tan (x))}^{2} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\csc (x) + \tan (x))}^{2}$ ở dạng $(\csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) + \tan (x))$ .

$\int (\csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) + \tan (x)) d x$

Bước 1.2

Khai triển $(\csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) + \tan (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \csc (x) (\csc (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\csc (x) + \tan (x)) d x$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \tan (x) + \tan (x) (\csc (x) + \tan (x)) d x$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \tan (x) + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $\csc (x) \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1.1

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) \tan (x) + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.1.2

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) \tan (x) + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \tan (x) + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) \tan (x) + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Sắp xếp lại $\csc (x)$ và $\tan (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.2.2

Viết lại $\csc (x) \tan (x)$ theo sin và cosin.

$\int \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\int \csc^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) + \sec (x) + \tan (x) \csc (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.4

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.4.1

Viết lại $\tan (x) \csc (x)$ theo sin và cosin.

$\int \csc^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\int \csc^{2} (x) + \sec (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) + \sec (x) + \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.6

Nhân $\tan (x) \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.6.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \sec (x) + \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3.1.6.2

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \sec (x) + \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Bước 1.3.1.6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \csc^{2} (x) + \sec (x) + \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 1.3.1.6.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \sec (x) + \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Bước 1.3.2

Cộng $\sec (x)$ và $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) + 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \csc^{2} (x) d x + \int 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 3

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) + C + \int 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- \cot (x) + C + 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 5

Tích phân của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \cot (x) + C + 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- \cot (x) + C + 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \cot (x) + C + 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \cot (x) + C + 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 9

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$- \cot (x) + C + 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Bước 10

Rút gọn.

$- \cot (x) + 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$