Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x^{2} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 7.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.7

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.8

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.9

Cộng $\frac{2}{3}$ và $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 7.2.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 7.2.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 7.2.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 7.2.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 7.2.3.12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - 0)$

Bước 7.2.3.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} + 0)$

Bước 7.2.3.14

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 7.2.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 - 1}{3}$

Bước 7.2.3.16

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{3}$

Bước 9