Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{0} (x^{5} - 4 x^{3} + 4 x + 4) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 1}^{0} x^{5} - 4 x^{3} + 4 x + 4 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{0} x^{5} d x + \int_{- 1}^{0} - 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Bước 4

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 \int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Bước 7

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + 4 x]_{- 1}^{0}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0}$ và $4 x]_{- 1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + 4 x]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Bước 11.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tính $\frac{1}{6} x^{6} + 4 x$ tại $0$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Bước 11.2.2

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $0$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Bước 11.2.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $0$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.2

Nhân $\frac{1}{6}$ với $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.3

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.4

Cộng $0$ và $0$ .

$0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $6$ .

$0 - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.6

Nhân $\frac{1}{6}$ với $1$ .

$0 - (\frac{1}{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.7

Nhân $4$ với $- 1$ .

$0 - (\frac{1}{6} - 4) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.8

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$0 - (\frac{1}{6} - 4 \cdot \frac{6}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.9

Kết hợp $- 4$ và $\frac{6}{6}$ .

$0 - (\frac{1}{6} + \frac{- 4 \cdot 6}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - \frac{1 - 4 \cdot 6}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.11.1

Nhân $- 4$ với $6$ .

$0 - \frac{1 - 24}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.11.2

Trừ $24$ khỏi $1$ .

$0 - \frac{- 23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - - \frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.13

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{23}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.14

Nhân $\frac{23}{6}$ với $1$ .

$0 + \frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.15

Cộng $0$ và $\frac{23}{6}$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.16

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.17

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.17.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.17.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.17.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{23}{6} - 4 (0 - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.18

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{23}{6} - 4 (0 - \frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.19

Trừ $\frac{1}{4}$ khỏi $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.20

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$\frac{23}{6} + 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.21

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{23}{6} + \frac{4}{4} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.22

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.22.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{23}{6} + \frac{4}{4} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.22.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{23}{6} + 1 + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.23

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{23}{6} + \frac{6}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{23 + 6}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.25

Cộng $23$ và $6$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.26

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.27

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.27.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.27.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.27.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.27.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.27.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.27.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{29}{6} + 4 (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 11.2.4.28

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{29}{6} + 4 (0 - \frac{1}{2})$

Bước 11.2.4.29

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (- \frac{1}{2})$

Bước 11.2.4.30

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{29}{6} - 4 (\frac{1}{2})$

Bước 11.2.4.31

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{6} + \frac{- 4}{2}$

Bước 11.2.4.32

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.32.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Bước 11.2.4.32.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.32.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Bước 11.2.4.32.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.32.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{29}{6} + \frac{- 2}{1}$

Bước 11.2.4.32.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$\frac{29}{6} - 2$

Bước 11.2.4.33

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{29}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Bước 11.2.4.34

Kết hợp $- 2$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{29}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Bước 11.2.4.35

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{29 - 2 \cdot 6}{6}$

Bước 11.2.4.36

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.36.1

Nhân $- 2$ với $6$ .

$\frac{29 - 12}{6}$

Bước 11.2.4.36.2

Trừ $12$ khỏi $29$ .

$\frac{17}{6}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{17}{6}$

Dạng thập phân:

$2.8\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{5}{6}$

Bước 13