Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Khai triển $(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.1.2

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.3

Cộng $\cos (x) \sin (x)$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.4.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.4.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.4.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.5

Nhân $- - \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + 1 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.5.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.6

Khai triển $(- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.7.1.1

Nhân $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.7.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.1.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.1.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.1.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.2

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.7.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.7.3

Trừ $\cos (x) \sin (x)$ khỏi $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.1.8

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + 2}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.5

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin (2 x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.9

Viết lại $- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ ở dạng $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ .

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$