Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x - 2}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} \sqrt{4 - x^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{-}} 4 - x^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{-}} 4 - lim_{x \to 2^{-}} x^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.1.3

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - lim_{x \to 2^{-}} x^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.1.4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{4 - {(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.3.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.3.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.3.4

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.2.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

Bước 1.1.3.1.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Bước 1.1.3.3.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 - x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 - x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 - x^{2}}$ ở dạng ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.10

Di chuyển ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.12

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.13

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.14

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.16

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.17

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.18

Kết hợp $\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.19

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.20

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.20.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.20.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.21

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 1.3.22

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 1.3.23

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 1.3.24

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Bước 1.3.25

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Bước 1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 2^{-}} - \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Bước 1.5

Viết lại ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{4 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \cdot 1$

Bước 1.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Bước 2

Vì hàm số $\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ tiến dần đến $\infty$ , nên hằng số âm $- 1$ nhân với hàm số tiến dần đến $- \infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $- 1$ đã bị loại bỏ.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Bước 2.2

Vì tử số dương và mẫu số $\sqrt{4 - x^{2}}$ tiến dần đến 0 và lớn hơn 0 đối với $x$ gần $2$ từ phía bên trái, nên hàm số tăng không giới hạn.

$\infty$

Bước 2.3

Vì hàm số $\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ tiến dần đến $\infty$ , nên hằng số âm $- 1$ nhân với hàm số tiến dần đến $- \infty$ .

$- \infty$