Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $\frac{x}{3}$ và ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}]$

Bước 1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}] + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \cdot 1)$

Bước 4.8

Nhân ${(2 x + 1)}^{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2})) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} (6 {(2 x + 1)}^{2}) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.3

Kết hợp $6$ và $\frac{x}{3}$ .

$\frac{6 x}{3} {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.4

Kết hợp $\frac{6 x}{3}$ và ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 x {(2 x + 1)}^{2}}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x {(2 x + 1)}^{2}}{1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.5.2.4

Chia $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ cho $1$ .

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.6

Đưa ${(2 x + 1)}^{2}$ ra ngoài $2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa ${(2 x + 1)}^{2}$ ra ngoài $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Bước 5.6.2

Đưa ${(2 x + 1)}^{2}$ ra ngoài $\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.6.3

Đưa ${(2 x + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.7

Viết lại ${(2 x + 1)}^{2}$ ở dạng $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.8

Khai triển $(2 x + 1) (2 x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.9.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.9.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.9.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.9.1.5

Nhân $2 x$ với $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.9.1.6

Nhân $1$ với $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.9.2

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Bước 5.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Bước 5.10.2

Nhân $\frac{1}{3} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Bước 5.10.2.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Bước 5.10.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 5.11

Để viết $2 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 5.12

Kết hợp $2 x$ và $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 5.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3 + 2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 5.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{2 x \cdot 3 + 2 x + 1}{3}$

Bước 5.15

Nhân $3$ với $2$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{6 x + 2 x + 1}{3}$

Bước 5.16

Cộng $6 x$ và $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{8 x + 1}{3}$

Bước 5.17

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Bước 5.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.18.1

Nhân $4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.18.1.1

Kết hợp $4$ và $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$x^{2} \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Bước 5.18.1.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Bước 5.18.2

Nhân $4 x \frac{8 x + 1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.18.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + x \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Bước 5.18.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Bước 5.18.3

Nhân $\frac{8 x + 1}{3}$ với $1$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{8 x + 1}{3}$

Bước 5.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1)) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.20.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 x^{2} (8 x + 1) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.20.5.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.20.5.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.5.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.20.5.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.5.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.5.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.5.2

Nhân $4$ với $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x + 1) + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.9

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.20.10.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.20.10.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.10.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.20.10.2

Nhân $4$ với $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.21

Cộng $4 x^{2}$ và $32 x^{2}$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Bước 5.22

Cộng $4 x$ và $8 x$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x + 1}{3}$