Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 3 \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $9 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 \tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $3 \tan (t)$ ra ngoài ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2.1.2

Đưa $3 \tan (t)$ ra ngoài $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Bước 2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Bước 2.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

Bước 3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Bước 3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Bước 4

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec (t)$ và $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân với $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Bước 4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Bước 4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

Bước 5

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

Bước 6

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Bước 7

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\cos (t)$ với $1$ .

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

Bước 9

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

Bước 10

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$