Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $i$ ra ngoài $i - i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

Bước 1.1.2

Đưa $i$ ra ngoài $i^{1}$ .

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

Bước 1.1.3

Đưa $i$ ra ngoài $- i^{2}$ .

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

Bước 1.1.4

Đưa $i$ ra ngoài $i \cdot 1 + i (- i)$ .

$\frac{i (1 - i)}{3}$

Bước 1.2

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

Bước 2

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $i$ bằng $1$ .

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

Bước 3

Tính $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Bước 3.1.2

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Bước 3.2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

Bước 3.3

Tính $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $\frac{1}{3}$ ra ngoài tổng.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

Bước 3.3.2

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 3.3.3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Bước 3.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1.1

Cộng $10$ và $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Bước 3.3.4.1.2

Nhân $10$ với $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

Bước 3.3.4.1.3

Chia $110$ cho $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

Bước 3.3.4.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $55$ .

$\frac{55}{3}$

Bước 3.4

Tính $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $- \frac{1}{3}$ ra ngoài tổng.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

Bước 3.4.2

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.4.3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Bước 3.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1.1

Cộng $10$ và $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Bước 3.4.4.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1.2.1

Nhân $10$ với $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Bước 3.4.4.1.2.2

Nhân $2$ với $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Bước 3.4.4.1.3

Cộng $20$ và $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Nhân $110$ với $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Bước 3.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Bước 3.4.4.2.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $2310$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

Bước 3.4.4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

Bước 3.4.4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 (\frac{770}{6})$

Bước 3.4.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $770$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $770$ .

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

Bước 3.4.4.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.4.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.4.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 (\frac{385}{3})$

Bước 3.4.4.2.4

Viết lại $- 1 (\frac{385}{3})$ ở dạng $- (\frac{385}{3})$ .

$- \frac{385}{3}$

Bước 3.5

Cộng các kết quả của tổng.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{55 - 385}{3}$

Bước 3.6.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Trừ $385$ khỏi $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

Bước 3.6.2.2

Chia $- 330$ cho $3$ .

$- 110$

Bước 4

Tính $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Bước 4.1.2

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

Bước 4.2

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Bước 4.3.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Bước 4.3.2.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Bước 4.3.2.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

Bước 4.3.2.6

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Bước 4.3.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Bước 4.3.4

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Bước 4.3.5

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

Bước 4.3.6

Cộng $- 2$ và $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

Bước 4.3.7

Trừ $9$ khỏi $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

Bước 4.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{3}$

Bước 5

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$- 110 + \frac{8}{3}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để viết $- 110$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

Bước 6.2

Kết hợp $- 110$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

Bước 6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $- 110$ với $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

Bước 6.4.2

Cộng $- 330$ và $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

Bước 6.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{322}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{322}{3}$

Dạng thập phân:

$- 107.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$- 107 \frac{1}{3}$