Giải tích Ví dụ

$y = \arcsin (2 x + 1)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arcsin (2 x + 1))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \arcsin (y)$ và $g (y) = 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\arcsin (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1])$

Bước 3.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + \frac{d}{d y} [1])$

Bước 3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + 0)$

Bước 3.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $2 x'$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x')$

Bước 3.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} x'$

Bước 3.5.3

Kết hợp $\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ và $x'$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 x' = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn $1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.1

Nhân $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ với $1$ .

$2 x' = \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.2.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{1^{2} - {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = 2 x + 1$ .

$2 x' = \sqrt{(1 + 2 x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Bước 5.3.2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.1

Cộng $1$ và $1$ .

$2 x' = \sqrt{(2 x + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Bước 5.3.2.1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Bước 5.3.2.1.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2 (1)) (1 - (2 x + 1))}$

Bước 5.3.2.1.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (1)$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Bước 5.3.2.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x) - 1 \cdot 1)}$

Bước 5.3.2.1.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1 \cdot 1)}$

Bước 5.3.2.1.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1)}$

Bước 5.3.2.1.3.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (- 2 x + 0)}$

Bước 5.3.2.1.3.7

Cộng $- 2 x$ và $0$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) \cdot - 2 x}$

Bước 5.3.2.1.3.8

Nhân $- 2$ với $2$ .

$2 x' = \sqrt{- 4 (x + 1) x}$

Bước 5.3.2.1.4

Viết lại $- 4 (x + 1) x$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$2 x' = \sqrt{4 (- 1) (x + 1) x}$

Bước 5.3.2.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1) x}$

Bước 5.3.2.1.4.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1^{2}) x}$

Bước 5.3.2.1.4.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 ((x + 1^{2}) x)}$

Bước 5.3.2.1.4.5

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)}$

Bước 5.3.2.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1^{2}) x}$

Bước 5.3.2.1.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.6.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$

Bước 5.3.2.1.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$ .

$2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ cho $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Bước 5.4.3.1.2

Chia $\sqrt{- x (x + 1)}$ cho $1$ .

$x' = \sqrt{- x (x + 1)}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \sqrt{- x (x + 1)}$