Giải tích Ví dụ

$y = {(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(2 \frac{1}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Bước 3.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Bước 3.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{3}}]$

Bước 3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Bước 3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Bước 3.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}}]$

Bước 3.3.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{2 \cdot 3}}}]$

Bước 3.3.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{6}}}]$

Bước 3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d}{d y} [1 \frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Bước 3.5

Nhân $\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}$ với $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = x^{6}$ và $g (y) = {(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}}$

Bước 3.7

Nhân các số mũ trong ${({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{3 \cdot 2}}$

Bước 3.7.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{6}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.9

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của ${(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{6 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} \frac{d}{d y} [x] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.10

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{3}$ và $g (y) = 2 + 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.11.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.11.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.12

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + 3 x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.12.3

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.12.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.12.5

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (3 \frac{d}{d y} [x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.12.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.6.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} (3 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.12.6.2

Nhân $3$ với $- 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.13.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 u_{3} \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.13.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} (2 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.14.2

Nhân $2$ với $- 9$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.15

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 (x^{1} x^{6}) ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{1 + 6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.17

Cộng $1$ và $6$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.18

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.1.1

Đưa $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ ra ngoài $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.1.1.1

Đưa $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ ra ngoài $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.19.1.1.2

Đưa $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ ra ngoài $- 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.19.1.1.3

Đưa $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ ra ngoài $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2} - 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.19.1.2

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 0)}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.19.1.3

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' \cdot 2}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.19.1.4

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.19.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ và ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.2.1

Đưa ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ ra ngoài $12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Bước 3.19.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.2.2.1

Đưa ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ ra ngoài ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Bước 3.19.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Bước 3.19.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Bước 3.19.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$12 x^{5} x' = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ với $1$ .

$12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ cho $12 x^{5}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ cho $12 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$