Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) d x$

Bước 1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 x) d x)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 x) d x)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Bước 6

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 6.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 7

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u))$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $x$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Bước 10.2

Tính $\sin (u)$ tại $π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Bước 10.3

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Bước 11.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Bước 11.3

Cộng $\sin (π)$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (π))$

Bước 11.4

Kết hợp $\sin (π)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Bước 12.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Bước 12.2

Chia $0$ cho $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - 0)$

Bước 12.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0)$

Bước 12.4

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Bước 12.5

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 12.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{4}$

Dạng thập phân:

$0.78539816 \dots$