Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (θ)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Bước 4

Vì đạo hàm của $\tan (θ)$ là $\sec^{2} (θ)$ , tích phân của $\sec^{2} (θ)$ là $\tan (θ)$ .

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ và $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $- θ + \tan (θ)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

Bước 5.2.2.2

Cộng $0$ và $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

Bước 5.3.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

Bước 5.3.3

Cộng $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ và $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

Bước 6

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{2})$ là $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia $\frac{π}{2}$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Bước 6.2

Áp dụng công thức tổng của góc.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Bước 6.3

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Bước 6.4

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Bước 6.5

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

Bước 6.6

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

Bước 6.7

Rút gọn $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1

Nhân $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1.1

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Bước 6.7.1.1.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Bước 6.7.1.1.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Bước 6.7.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Bước 6.7.1.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Bước 6.7.1.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Bước 6.7.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Bước 6.7.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Bước 6.7.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Bước 6.7.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

Bước 6.7.1.2.5

Tính số mũ.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Bước 6.7.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Bước 6.7.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

Bước 6.7.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Bước 6.7.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Bước 6.8

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Bước 7

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định