Giải tích Ví dụ

$\int \frac{y^{4} + 2 y^{2} - 1}{\sqrt{y}} d y$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{y^{4} + 2 y^{2} - 1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Bước 2

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4

Khai triển $(y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (y^{4} + 2 y^{2}) y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y^{4} y^{- \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{4 - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.4

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.5

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int y^{\frac{4 \cdot 2 - 1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $4$ với $2$ .

$\int y^{\frac{8 - 1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.7.2

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2 - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.9

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.10

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{4 - 1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.12.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{3}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 4.13

Sắp xếp lại $y^{\frac{7}{2}}$ và $2 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{7}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 y^{\frac{3}{2}} d y + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int y^{\frac{3}{2}} d y + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{\frac{3}{2}}$ đối với $y$ là $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C) + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{\frac{7}{2}}$ đối với $y$ là $\frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $y^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 9.2

Viết lại $- 1 y^{- \frac{1}{2}}$ ở dạng $- y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C - \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- \frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C - (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$\frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{9} - (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 12.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{9} - 2 y^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 12.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}} + C$