Giải tích Ví dụ

$\cos (3 y) + \sin (2 x) = 2 x + 3 y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (3 y) + \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (3 y) + \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 y$ .

$- \sin (3 y) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \sin (3 y) (3 y') + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.2.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 2.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 + 3 y'$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 y' + 2$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x) = 3 y' + 2$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 3 y' + 2$

Bước 5.2

Trừ $2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 \sin (3 y) y' = 3 y' + 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.3

Trừ $3 y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 \sin (3 y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- 3 \sin (3 y) y' - 3 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân ba cho sin.

$- 3 (- 4 \sin^{3} (y) + 3 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.4.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- 3 (- 4 \sin^{3} (y)) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.4.1.1.3

Nhân $- 4$ với $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.4.1.1.4

Nhân $3$ với $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 9 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.4.1.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.4.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y'$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn $2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.5.1.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.5.1.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 + 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5.5.1.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.2.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 0 + 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5.5.1.2.2

Cộng $0$ và $4 \sin^{2} (x)$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5.6

Giải phương trình để tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $3 y'$ ra ngoài $12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Đưa $3 y'$ ra ngoài $12 y' \sin^{3} (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5.6.1.2

Đưa $3 y'$ ra ngoài $- 9 y' \sin (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5.6.1.3

Đưa $3 y'$ ra ngoài $- 3 y'$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5.6.1.4

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y))$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5.6.1.5

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5.6.2

Chia mỗi số hạng trong $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ cho $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ cho $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ .

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Bước 5.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Bước 5.6.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Bước 5.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Bước 5.6.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$