Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = (x^{2} + x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $- 2$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Bước 4.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Bước 4.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Bước 4.2.1.4

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

Bước 4.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

Bước 4.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

Bước 4.2.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

Bước 4.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

Bước 4.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Bước 4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

Bước 4.2.5.2

Cộng $- 8$ và $6$ .

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

Bước 4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $\frac{2}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 2 + \frac{2}{3}$

Bước 4.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $2$ với $3$ .

$K = \frac{6 + 2}{3}$

Bước 4.3.5.2

Cộng $6$ và $2$ .

$K = \frac{8}{3}$

Bước 5

Thay $\frac{8}{3}$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{8}{3}$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$