Giải tích Ví dụ

$y = x + \sqrt{x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x + x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + x^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 4.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 4.2.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$