Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Bước 2.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

Bước 2.13.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$