Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.3

Viết lại $\tan^{6} (t)$ ở dạng ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $\tan (t)$ ra ngoài $\tan^{3} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.2.1.2

Đưa $\tan (t)$ ra ngoài $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Bước 3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Bước 3.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ và $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\sec (x)$ ở dạng $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Bước 4.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Bước 4.3.2

Kết hợp.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Bước 4.3.3

Nhân $\csc (t)$ với $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Bước 4.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Bước 4.3.4.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Bước 4.3.5

Kết hợp $\cot (t)$ và $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Bước 4.3.6

Rút gọn biểu thức $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Nhân với $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Bước 4.3.6.2

Đưa $\cot (t)$ ra ngoài ${\cot (t)}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Bước 4.3.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Bước 4.3.6.4

Viết lại biểu thức.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Bước 4.3.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

Bước 5

Vì đạo hàm của $- \csc (t)$ là $\csc (t) \cot (t)$ , tích phân của $\csc (t) \cot (t)$ là $- \csc (t)$ .

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

Bước 6

Tính $- \csc (t)$ tại $1.44546849$ và tại $\frac{π}{3}$ .

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

Bước 7

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{3})$ là $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 8.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 8.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 8.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 8.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 8.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 8.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 8.2.6.5

Tính số mũ.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dạng thập phân:

$0.14679527 \dots$

Bước 10