Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3}{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Bước 2.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.6.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.6.2.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Bước 3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Bước 3.10.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Bước 3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ và $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Bước 3.14

Nhân $x^{- \frac{1}{3}}$ với $x^{- \frac{4}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Di chuyển $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Bước 3.14.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Bước 3.14.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Bước 3.14.4

Trừ $1$ khỏi $- 4$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Bước 3.14.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Bước 3.15

Di chuyển $x^{- \frac{5}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Bước 3.16

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 3 x^{- 2} - 2 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 3.17

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 3.18

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 3.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 x^{- 2} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$