Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Bước 4

Tính $\arctan (x)$ tại $t$ và tại $0$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Bước 5.2

Giới hạn khi $t$ tiến về $\infty$ là bằng $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Bước 5.3

Tính giới hạn của $\arctan (0)$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

Bước 5.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Bước 5.4.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Bước 5.4.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$\frac{π}{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{2}$

Dạng thập phân:

$1.57079632 \dots$