Giải tích Ví dụ

${(x y)}^{x} = e$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d x} (e)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${(x y)}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({(x y)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x y)}^{x})}]$

Bước 2.1.2

Khai triển $\ln ({(x y)}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x y)}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x \ln (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x \ln (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $x$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.7

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \cdot 1) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.9

Nhân $y$ với $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \cdot 1)$

Bước 2.11

Nhân $\ln (x y)$ với $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y))$

Bước 2.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y') + \frac{1}{y} y + \ln (x y))$

Bước 2.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y')) + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Bước 2.12.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{y}$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{y} y') + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Bước 2.12.3.2

Kết hợp $\frac{x}{y}$ và $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{x y'}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Bước 2.12.3.3

Kết hợp $e^{x \ln (x y)}$ và $\frac{x y'}{y}$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Bước 2.12.3.4

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Bước 2.12.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Bước 2.12.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \cdot 1 + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Bước 2.12.3.6

Nhân $e^{x \ln (x y)}$ với $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Bước 2.12.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)}$

Bước 3

Vì $e$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $e$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} x y'}{y} + e^{x \ln (x y)}$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{x y' e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Bước 5.1.2

Sắp xếp lại $x$ và $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Bước 5.1.3

Sắp xếp lại $e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$ và $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)} = 0$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + \ln (x y) e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Bước 5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $\ln (x y) e^{x \ln (x y)}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)}$

Bước 5.3.2

Trừ $e^{x \ln (x y)}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}$

Bước 5.4

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Bước 5.5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' x e^{x \ln (x y)} = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Rút gọn $(- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$

Bước 5.5.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) y e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

Bước 5.5.2.1.2.2

Di chuyển $\ln (x y)$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

Bước 5.6

Chia mỗi số hạng trong $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ cho $x e^{x \ln (x y)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Chia mỗi số hạng trong $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ cho $x e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x \ln (x y)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x \ln (x y)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x \ln (x y)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Bước 5.6.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.6.3.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$