Giải tích Ví dụ

$y = {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$

Bước 2

Khai triển $\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$ bằng cách di chuyển $\ln (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (9 x))] + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin (9 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (9 x)}$ sang $\csc (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $9 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.5.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $9 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \cdot 1)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.3.1

Nhân $9$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) \cdot 9) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.6.3.2

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $\csc (9 x) \cos (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \cdot (\csc (9 x) \cos (9 x))) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.7

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{1}{x}$

Bước 3.2.8

Kết hợp $\ln (\sin (9 x))$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 3.2.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \csc (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 3.2.9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.2.1

Viết lại $\csc (9 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 3.2.9.2.2

Nhân $9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{\sin (9 x)}$ và $9$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9}{\sin (9 x)} \cos (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 3.2.9.2.2.2

Kết hợp $\frac{9}{\sin (9 x)}$ và $\cos (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 3.2.9.2.3

Kết hợp $\frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x) \ln (x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 3.2.9.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.3.1

Tách các phân số.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 3.2.9.3.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ sang $\cot (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 3.2.9.3.3

Chia $9 \ln (x)$ cho $1$ .

$\frac{y'}{y} = 9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn $9 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $9$ trong logarit.

$y' = (\ln (x^{9}) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Bước 5.1.2

Viết lại $\cot (9 x)$ theo sin và cosin.

$y' = (\ln (x^{9}) \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Bước 5.1.3

Kết hợp $\ln (x^{9})$ và $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} {\sin (9 x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ và ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Bước 5.4

Kết hợp $\frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$ và ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung của ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ và $\sin (9 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $\sin (9 x)$ ra ngoài $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Nhân với $1$ .

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.5.2.4

Chia $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ cho $1$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.6

Để viết $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x^{9}) \cos (9 x) + {\sin (9 x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (9 x))}{x}$