Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{5}}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{5}}}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) \sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa ${(5 - x^{3})}^{3}$ ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{3} {(5 - x^{3})}^{2}}}]$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) \sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}}]$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}$ ở dạng ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Bước 3

Nhân $5 - x^{3}$ với ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $5 - x^{3}$ với ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nâng $5 - x^{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{1} {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Bước 3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{1 + \frac{2}{3}}}]$

Bước 3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Bước 3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

Bước 3.4

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}}}]$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}}}$ ở dạng ${({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

Bước 4.2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{- 5}{3}}]$

Bước 4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3}}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{5}{3}}$ và $g (x) = 5 - x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3} u^{- \frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 - x^{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 9.2

Trừ $3$ khỏi $- 5$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 10.2

Kết hợp ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ và $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{{(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 10.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{5 \cdot {(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 10.3.2

Di chuyển ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Bước 11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Bước 12

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Bước 13

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 14

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 15

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 15.2

Nhân $\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ với $1$ .

$\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (3 x^{2})$

Bước 17

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp $3$ và $\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} x^{2}$

Bước 17.2

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{15}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} x^{2}$

Bước 17.3

Kết hợp $\frac{15}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2}}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Bước 17.4

Đưa $3$ ra ngoài $15 x^{2}$ .

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Bước 18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 ({(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}$

Bước 18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Bước 18.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x^{2}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Bước 19

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5 x^{2}}{{(- x^{3} + 5)}^{\frac{8}{3}}}$