Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Bước 2.1.1.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Bước 2.1.1.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Bước 2.1.2

Viết lại $- 1 \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Bước 2.3

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 2.3.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 2.3.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.3.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.4

Đặt $- \sin (x) + \cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $- \sin (x) + \cos (x)$ bằng với $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Bước 2.4.2

Giải $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.4.2.2

Tách các phân số.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.4.2.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.4.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.4.2.6

Tách các phân số.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 2.4.2.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 2.4.2.8

Chia $0$ cho $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Bước 2.4.2.9

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Bước 2.4.2.10

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 1$

Bước 2.4.2.11

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.11.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.11.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.11.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.11.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.11.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Bước 2.4.2.12

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (1)$

Bước 2.4.2.13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.13.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 2.4.2.14

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 2.4.2.15

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.15.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 2.4.2.15.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.15.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 2.4.2.15.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 2.4.2.15.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.15.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 2.4.2.15.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 2.4.2.16

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.16.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 2.4.2.16.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 2.4.2.16.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 2.4.2.16.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.4.2.17

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.6

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.7

Chứng minh từng đáp án bằng cách thay chúng vào $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ và giải.

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = e^{x} \cos (x)$ tại $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 3.2.2

Kết hợp $e^{\frac{π}{4}}$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = e^{x} \cos (x)$ tại $x = \frac{5 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Bước 4.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 4.2.3

Kết hợp $e^{\frac{5 π}{4}}$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 5

Giải hàm số ban đầu $f (x) = e^{x} \cos (x)$ tại $x = \frac{9 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{9 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.2.3

Kết hợp $e^{\frac{9 π}{4}}$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 6

Giải hàm số ban đầu $f (x) = e^{x} \cos (x)$ tại $x = 10.21017612$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $10.21017612$ trong biểu thức.

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ .

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Bước 7

Giải hàm số ban đầu $f (x) = e^{x} \cos (x)$ tại $x = 13.35176877$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $13.35176877$ trong biểu thức.

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Bước 8

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = e^{x} \cos (x)$ là $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Bước 9