Giải tích Ví dụ

$r = \csc (θ) \cot (θ)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\csc (θ) \cot (θ))$

Bước 2

Đạo hàm của $r$ đối với $θ$ là $r'$ .

$r'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = \csc (θ)$ và $g (θ) = \cot (θ)$ .

$\csc (θ) \frac{d}{d θ} [\cot (θ)] + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cot (θ)$ đối với $θ$ là $- \csc^{2} (θ)$ .

$\csc (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Bước 3.3

Nâng $\csc (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\csc^{1} (θ) \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- {\csc (θ)}^{1 + 2} + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $2$ .

$- \csc^{3} (θ) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Bước 3.6

Đạo hàm của $\csc (θ)$ đối với $θ$ là $- \csc (θ) \cot (θ)$ .

$- \csc^{3} (θ) + \cot (θ) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Bước 3.7

Nâng $\cot (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) (\cot^{1} (θ) \cot (θ))$

Bước 3.8

Nâng $\cot (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) (\cot^{1} (θ) \cot^{1} (θ))$

Bước 3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) {\cot (θ)}^{1 + 1}$

Bước 3.10

Cộng $1$ và $1$ .

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) \cot^{2} (θ)$

Bước 3.11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$r' = - \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

Bước 5

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = - \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$